三角代换

常用代换思路

  • \sqrt{a^2-x^2}，设x=a\cos\theta，则\sqrt{a^2+a^2\cos\theta}=a\sin\theta(0\le\theta\le\pi)

  • \sqrt{x^2+a^2}，设x=a\tan\theta，则\sqrt{a^2+a^2\tan^2\theta}=a\sec\theta(-\dfrac\pi2<\theta<\dfrac\pi2)

  • \sqrt{x^2-a^2}，设x=a\sec\theta，则\sqrt{a^2\sec^2\theta-a^2}=a\tan\theta(0<\theta<\pi)

  • 设x=\tan\dfrac\theta2，则：
    \dfrac{2x}{1+x^2}=\sin\theta(-\pi<\theta<\pi)
    \dfrac{1-x^2}{1+x^2}=\cos\theta(-\pi<\theta<\pi)
    \dfrac{2x}{1-x^2}=\tan\theta(-\dfrac\pi2<\theta<\dfrac\pi2)

  • 其他利用三角函数基本公式的方法。

范围问题

例1

求值域：y=\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x-1}

解析

设x=\tan\theta(-\dfrac\pi2<\theta<\dfrac\pi2)，则:
y=\dfrac{\sec\theta}{\tan\theta-1}\tag*{.}
=\dfrac{\dfrac1{\cos\theta}}{\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}-1}=\dfrac1{\sin\theta-\cos\theta}=\dfrac1{\sqrt2(\dfrac{\sqrt2}2\sin\theta-\dfrac{\sqrt2}2\cos\theta)}=\dfrac1{\sqrt2\sin(\theta-\dfrac\pi4)}\tag*{.}
考虑到-\dfrac\pi2<\theta<\dfrac\pi2,结合图像，有-\sqrt2\le\sqrt2\sin(\theta-\dfrac\pi4)<1，故\text{ran}y=(0,1)\cup(-\infty,-\dfrac{\sqrt2}2)。

关于本题的处理方式

这里求值域其实就是三角不等式的内容。化简到\dfrac1{\sin\theta-\cos\theta}时，分母中有两个异名的三角函数相减，不利于处理。如果对三角函数的基本公式很熟悉，不难联想到利用差角公式化为一个正弦，并利用正弦函数区间最值来得出答案。
考虑到差角公式\sin(x)\cos(y)-\cos(x)\sin(y)=\sin(x-y)，考虑到这与\sin(x)-\cos(x)差了两个系数\cos(y),\sin(y)，为了便利对这两个系数的处理，最好使得\cos(y)=\sin(y)=t，从而能够直接提出公因子 t，得出\sin(x-y)=t(\sin(x)-\sin(y))，从而达到了目的。而这样的 y 显然就是\dfrac\pi4，并有t=\dfrac{\sqrt2}2。

恒等式问题

三角代换的最高境界，即代换后使得题中条件自然成立，而无需再人工处理。

因此熟练运用三角代换还需要熟悉各大常用恒等式。

例题2

(1)对x,y,z\in\mathbb{R}，设f(x,y)=\dfrac{x-y}{1+xy},求证：f(x,y)+f(y,z)+f(z,x)=f(x,y)f(y,z)f(z,x)。
(2)对x,y,y\in\mathbb{R}，有xy+yz+xz=1，设g(x,y,z)=x(1-y^2)(1-z^2)，求证：g(x,y,z)+g(y,z,x)+g(z,x,y)=4xyz。

解析

(1)不难看出，这十分类似于正切函数的差角公式。因此考虑设x=\tan\alpha,y=\tan\beta,z=\tan\gamma，再设\alpha-\beta=A,\beta-\gamma=B,\gamma-\alpha=C。则A+B+C=0。考虑到“三角恒等式”的类型二第一式，显然有：
\tan(A)+\tan(B)+\tan(C)=\tan(A)\tan(B)\tan(C)\tag*{.}
故命题自然成立。
(2)设x=\tan\dfrac\alpha2,y=\tan\dfrac\beta2,z=\tan\dfrac\gamma2，则：
\alpha+\beta+\gamma=\pi\tag*{.}
g(x,y,z)+g(y,z,x)+g(z,x,y)=4xyz\leftrightarrow\sum\limits_{cyc}\dfrac{1-y^2}{2y}\dfrac{1-z^2}{2z}=1\leftrightarrow\sum\limits_{cyc}\dfrac1{\tan\beta}\dfrac1{\tan\gamma}=1
\leftrightarrow\tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma=\tan\alpha\tan\beta\tan\gamma\leftrightarrow\text{true}

其中\sum\limits_{cyc}表示轮换求和。有\sum\limits_{cyc}f(x,y,z)=f(x,y,z)+f(y,z,x)+f(z,x,y)。多元也同理。

不等式问题

见不等式章节的“三角代换”。

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