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基本概念

注意：部分内容用到了导数和极限，请参考“微积分”章节。

一元映射

两个非空集合 A,B 间存在一对应关系 f，满足：$\forall x\in A$，在B中有且仅有一个元素y与之对应，则称 f 为从A到B的一个一元映射，记作$f:A\rightarrow B$。其中y称为x在f下的象，记作$y=f(x)$。

另一种等价的阐述方式：

对于两个非空集合 A,B，若二元关系$f:A\times B$，满足：$\forall x\in A$，在B中有且仅有一个元素y使得$<x,y>\in f$，则称 f 为从A到B的一个一元映射，记作$f:A\rightarrow B$。

定义域与值域

集合A称为f的定义域，记作$\text{dom}f$，集合$\{f(x)|x\in A\}$称为f的值域，记作$\text{ran}f$。

需要注意的是，我们并不要求$B=\text{ran}f$，换句话说，仅保证$\text{ran}f\subset B$。

单射与满射

• 映射f称为单射，当且仅当$\forall x_1,x_2\in\text{dom}f:f(x_1)\not=f(x_2)$。
• 映射f称为满射，当且仅当$\forall y\in B$，在A中至少存在一个x使得$y=f(x)$。即$B=\text{ran}f$。
• 既是单射又是满射的映射称为双射。

函数

函数，最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。

我们定义，非空数集之间的映射为函数。

图象

一个一元函数的图像，定义为平面点集$\{(x,f(x))|x\in A\}$。

反函数

单射函数有反函数。设单射函数$y=f(x)$，若$x=g(y)$，则称 g 为 f 的反函数，记作$g=f^{-1}$。

不动点

方程$f(x)=x$的解称为 f 的不动点。

函数的复合

函数$f:y=u(v(x))$称为函数u与v的复合，记作$f=u\circ v$。

多元函数与多值函数

对于非空集合 $A_1,A_2,\cdot\cdot\cdot,A_n$,B，若(n+1)元关系$f:A_1\times A_2\times\cdot\cdot\cdot\times A_n\times B$，满足：$\forall x_i\in A_i$，在B中有且仅有一个元素y使得$<x_1,x_2,\cdot\cdot\cdot,x_n;y>\in f$。

令$A=A_1\times A_2\times\cdot\cdot\cdot\times A_n$则称 f 为从A到B的一个n元映射，记作$f:A\rightarrow B$。

记作$y=f(x_1,\cdot\cdot\cdot,x_n)$。

其定义域和值域同理。$\text{dom}f=A$

多值函数也同理。但需要注意，在现代高中必修课本中，多值函数不是函数。

如果没有特殊说明，我们指的都是一元函数。

函数的性质

对称性

函数$y=f(x)$与$y=f(2a-x)$关于$x=a$对称。

事实上，也可以求出任意解析曲线关于任意直线的对称曲线。

另外，有如下定理：

• 定理1：可导函数f关于点$(a,f(a))$对称当且仅当其导函数关于直线$x=a$对称。
• 定理2：可导函数f关于直线$x=a$对称当且仅当其导函数关于点$(a,f(a))$对称。

奇偶性

• 一个函数f是奇函数当且仅当$f(x)=-f(-x)$。
• 一个函数f是偶函数当且仅当$f(x)=f(-x)$。

周期性

一个函数f为周期函数当且仅当$\exists 常数T$使得$\forall x\in\text{dom}f:f(x)=f(x+T)$。

这样的T中大于零的最小的T称为f的最小正周期。

需要注意，常数函数无最小正周期。任意实数都是常数函数的周期。

连续性

设$\exists \delta\in R$使f在$(x_0-\delta,x_0+\delta)$有定义，且$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$。则称f在$x_0$连续。若函数f在某区间内所有点连续，则称f在该区间连续。

可导性

设$\exists \delta\in R$使f在$(x_0-\delta,x_0+\delta)$有定义，且$f'(x_0)$存在，则称f在$x_0$可导。若函数f在某区间内所有点可导，则称f在该区间可导。

需要注意，可导性与连续性并不等价。比如魏尔斯特拉斯函数。

单调性

• 在某区间S内，若$\forall x_1,x_2\in S,x_1<x_2$，恒有$f(x_1)\le f(x_2)$，则称f在S单调增。
• 在某区间S内，若$\forall x_1,x_2\in S,x_1<x_2$，恒有$f(x_1)\ge f(x_2)$，则称f在S单调减。
• 若f在S可导，则f在S单调增当且仅当$\forall x\in S:f'(x)\ge0$。
• 若f在S可导，则f在S单调减当且仅当$\forall x\in S:f'(x)\le0$。
• 若不等号不取等，则称f在S严格单调增（减）。
• 复合函数的单调性：
  • 两单调性相同的函数相加，单调性不变
  • $f\circ g$为增函数当且仅当f与g单调性相同。
  • $f\circ g$为减函数当且仅当f与g单调性相反。

凹凸性

• 在某区间S内，若$\forall x_1,x_2\in S$，恒有$f(\dfrac{x_1+x_2}2)\le\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}2$，则称f在S为凹函数。
• 在某区间S内，若$\forall x_1,x_2\in S$，恒有$f(\dfrac{x_1+x_2}2)\ge\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}2$，则称f在S为凸函数。
• 若f在S可导，则f在S下凹当且仅当$\forall x\in S:f''(x)\ge0$。
• 若f在S可导，则f在S上凸当且仅当$\forall x\in S:f''(x)\le0$。
• 若不等号不取等，则称f在S为严格单调凹（凸）函数。

有界性

若存在两个常数m和M，使函数$y=f(x)$满足$\forall x\in S:m≤f(x)≤M$ 。 则称函数y=f(x)在S有界，其中m是它的下界，M是它的上界。

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