常见初等函数
一次函数¶
略。这是初中内容。
二次函数¶
略。这是初中内容。
三次函数¶
设三次函数f：y=ax^3+bx^2+cx+d。
对称性¶
- 定理1：f的对称中心为(-\dfrac{b}{3a},f(-\dfrac{b}{3a}))。
证明：设其对称中心为(m,n)，根据对称性，f(x)=2n-f(2m-x)，暴力化简即可。
- 定理2：f的对称中心在其导函数的对称轴上，且为两个极值点的中点。
切线问题¶
总思路：
- 利用切线方程与二次函数判别式。
- 注意三次函数的对称性。
已知斜率为k与三次函数相切的切线¶
方法：斜率为k的切线条数，即f'(x)=k的解数。由于这是一个二次方程，利用其判别式即可。
过三次函数上一点的切线¶
- 当P为对称中心时，过P有且仅有一条切线，即以P为切点的切线。
- 否则，过P有两条不同的切线，其中一点是以P为切点的切线。
过三角函数外一点的切线¶
设点P(x_0,y_0)为三次函数f外一点，则过P必有直线与f相切。
方法：设点Q(x_1,f(x_1))为切点，将P(x_0,y_0)代入切线方程，显然这是二次方程。利用判别式求出x_1的取值个数。
切线 - 割线性质¶
定理：给定三次函数上一点P，过此点作一条割线交三次函数于异于P的A,B两点，作一条切线PT（T异于P且为切点），则T在x轴上的投影为AB在x轴上投影的中点。
单调性与极值¶
对f求一阶导数，求其判别式，得到\Delta=4(b^2-3ac)。单调区间与驻点（图1和图3为极值点）参考如下：
零点¶
请百度盛金公式或卡丹 - 塔尔塔利亚公式。由于这并非竞赛考点，故不赘述。
幂函数¶
函数y=x^a称为幂函数。对于a为有理数的情形：
对于a为无理数时，定义域为x>0。
幂函数较为简单，不再赘述。
指数函数与对数函数¶
咕咕咕
双勾函数¶
定义：形如f(x)=ax+\dfrac{b}x(ab>0)的函数，因其图像而得名。
有\text{dom}f=\complement_\mathbb{R}\{0\},\text{ran}f=\complement_\mathbb{R}(-2\sqrt{ab},2\sqrt{ab})。值域利用均值不等式或求导法可得。
对称性¶
f关于(0,0)中心对称。
奇偶性¶
显然f为奇函数。
连续性¶
f在x=0处不连续。
单调性¶
求一阶导可得，增区间为(-\infty,-\sqrt{\dfrac{b}a}]\cup[\sqrt{\dfrac{b}a},\infty)，减区间为[-\sqrt{\dfrac{b}a},0)\cup(0,\sqrt{\dfrac{b}a}]
凹凸性¶
求二阶导可得，f在第一象限为凹函数，在第三象限为凸函数。
渐进线¶
- f的两条渐近线为y=ax和y轴。
- 性质：f上任意一点到两渐近线距离之积等于|b|\cos(\arctan(a))。